Question

【题目】已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+an（x﹣1）n ， （其中n∈N*）
（1）求a0及Sn=a1+2a2+3a3+…+nan；
（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取x=1，可得 ．

对等式两边求导，得 ，

取x=2，则

（2）解：要比较Sn与n3的大小，即比较：3n﹣1与n2的大小，

当n=1，2时，3n﹣1＜n2； 当n=3时，3n﹣1=n2；当n=4，5时，3n﹣1＞n2．

猜想：当n≥4时，3n﹣1＞n2，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n=4时结论成立，

假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k﹣1＞k2，

当n=k+1时，3（k+1）﹣1=33k﹣1＞3k2．

而3k2﹣（k+1）2=2k2﹣2k﹣1=2k（k﹣1）﹣1≥2×4×3﹣1=23＞0，

∴3（k+1）﹣1＞33k﹣1＞3k2＞（k+1）2，故当n=k+1时结论也成立，

∴当n≥4时，3n﹣1＞n2成立．

综上得，当n=1，2时， ； 当n=3时， ；当n≥4，n∈N*时，

【解析】（1）取x=1，即可求得 a0的值．对所给的等式两边求导，再取x=2，可得Sn的值．（2）要比较Sn与n3的大小，即比较：3n﹣1与n2的大小，当n=1，2时，3n﹣1＜n2； 当n=3时，3n﹣1=n2； 当n=4，5时，3n﹣1＞n2 ． 猜想：当n≥4时，3n﹣1＞n2 ， 再用数学归纳法证明．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．