题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)求曲线在点
处的切线方程;(2)求函数
在
上的最大值;
(3)求证:存在唯一的,使得
.
【答案】(1);(2)6;(3)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义求切线斜率,写出切线方程;(Ⅱ)写出函数在区间上导数的变化情况,列表求最值即可;(Ⅲ)构造函数=
,只需证明函数有唯一零点即可.
试题解析:(Ⅰ)由,得
,
所以,又
所以曲线在点
处的切线方程为:
,即:
.
(Ⅱ)令,得
.
与
在区间
的情况如下:
- | 0 | + | |
极小值 |
因为
所以函数
在区间
上的最大值为6.
(Ⅲ)证明:设=
,
则,
令,得
.
与
随x的变化情况如下:
1 | |||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
则的增区间为
,
,减区间为
.
又,
,所以函数
在
没有零点,又
,
所以函数在
上有唯一零点
.
综上,在上存在唯一的
,使得
.
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