Question

1．已知x满足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），求函数f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域．

Answer 1

分析 x满足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），可得0＜x²≤3x-2，可得x的取值范围．化简函数f（x）=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，利用二次函数的单调性、对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵x满足log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），
∴0＜x²≤3x-2，
解得1≤x≤2．
∴函数f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-2）（log₂x-1）=$（lo{g}_{2}x）^{2}$-3log₂x+2
=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，
∵1≤x≤2，
∴0≤log₂x≤1，
∴f（1）≤f（x）≤f（2），
∴0≤f（x）≤2．
∴函数f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域为[0，2]．

点评 本题考查了二次函数的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．