Question

9．求证：f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$，对于x∈[a+1，a+2]恒有-2≤f（x）≤-$\frac{3}{2}$成立．

Answer 1

分析 将f（x）变形，运用变量分离，可得f（x）=-1+$\frac{-1}{x-a}$，由x∈[a+1，a+2]，可得x-a∈[1，2]，即有f（x）在[a+1，a+2]上递增，即可得到最值，进而得证．

解答 证明：f（x）=$\frac{x+1-a}{a-x}$=$\frac{1}{a-x}$-1
=-1+$\frac{-1}{x-a}$，
由x∈[a+1，a+2]，可得x-a∈[1，2]，
即有f（x）在[a+1，a+2]上递增，
当x=a+1时，取得最小值-2，
当x=a+2时，取得最大值-$\frac{3}{2}$．
则x∈[a+1，a+2]恒有-2≤f（x）≤-$\frac{3}{2}$成立．

点评 本题考查函数的单调性的判断和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．