题目内容
16.已知数列{an}满足an+1=$\frac{{7a}_{n}-2}{{2a}_{n}+3}$,a1=2,求数列{an}的通项公式.分析 由数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以1为首项,$\frac{2}{5}$为公差的等差数列,求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}的通项公式,则数列{an}的通项公式可求.
解答 解:由an+1=$\frac{{7a}_{n}-2}{{2a}_{n}+3}$,得${a}_{n+1}-1=\frac{7{a}_{n}-2-2{a}_{n}-3}{2{a}_{n}+3}=\frac{5{a}_{n}-5}{2{a}_{n}+3}$=$\frac{5({a}_{n}-1)}{2{a}_{n}+3}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{2{a}_{n}+3}{5({a}_{n}-1)}=\frac{2({a}_{n}-1)+5}{5({a}_{n}-1)}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}+\frac{2}{5}$,
即$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{2}{5}$为定值.
又a1=2,∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{2-1}=1$,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以1为首项,$\frac{2}{5}$为公差的等差数列.
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}=1+\frac{2}{5}(n-1)=\frac{2n+3}{5}$,
∴${a}_{n}=1+\frac{5}{2n+3}=\frac{2n+8}{2n+3}$.
点评 本题考查等差关系的确定,考查了等差数列的通项公式,属中档题.
练习册系列答案
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A. | 52 | B. | 35 | C. | 3 | D. | 15 |