Question

10．当a为何值时，不等式log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0有且只有一个解．

Answer 1

分析 对a讨论，a＞1和0＜a＜1两种情况，运用对数的换底公式，全部以a为底，运用对数函数的单调性，及换元法，令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，判断单调性，再由二次不等式的解法与判别式的关系，即可得到所求范围

解答 解：①当a＞1时，log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
即为-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$=t（t≥0），则-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＞0，log_a5＞0，
则有log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≤0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，则f（t）递增，
且f（2）=0，即有f（t）≤f（2），即有t≤2．
即有0≤x²+ax+5≤4，由于只有一解，则判别式a²-4=0，解得，a=2；
②当0＜a＜1时，log${\;}_{\frac{1}{a}}$（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
即为-log_a（$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令$\sqrt{{x}^{2}+ax+5}$=t（t≥0），则-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＜0，log_a5＜0，
则有log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≥0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，则f（t）递减，
且f（2）=0，即有f（t）≥f（2），即有t≤2．
即有x²+ax+5≤4，由于判别式a²-4＜0，则不等式的解集为∅．
综上可得，a的取值范围为{2}，不等式有且只有一个解．

点评 本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性和运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算化简能力，属于中档题和易错题．