题目内容
【题目】已知F1、F2分别是双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心,OF1为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当△PF1F2的面积等于a2时,双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.2
【答案】A
【解析】解:设F1F2=2c,由题意知△F1F2P是直角三角形,
∴F1P2+F2P2=F1F22 ,
又根据曲线的定义得:
F1P﹣F2P=2a,
平方得:F1P2+F2P2﹣2F1P×F2P=4a2
从而得出F1F22﹣2F1P×F2P=4a2
∴F1P×F2P=2(c2﹣a2)
又当△PF1F2的面积等于a2
即 F1P×F2P=a2
2(c2﹣a2)=a2∴c= a,
∴双曲线的离心率e= =
.
故选A.
先设F1F2=2c,由题意知△F1F2P是直角三角形,进而在RT△PF1F2中结合双曲线的定义和△PF1F2的面积,进而根据双曲线的简单性质求得a,c之间的关系,则双曲线的离心率可得.

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