Question

11．给出以下命题：
①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；
②若数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；
③若S_n是等比数列{a_n}的前n项和，则S₆，S₁₂-S₆，S₁₈-S₁₂成等比数列；
④若S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常数，n∈N^*），则A+B为零；
⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²＞c²，则△ABC一定是锐角三角形．
其中正确的命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等差数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n项的和推出A，B判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；

解答 解：对于①实数α=0，β≠0，则sin（α+β）=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；
对于②取数列{a_n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故②不正确；
对于③设a_n=（-1）ⁿ，
则S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，
∴此数列不是等比数列，故③不正确；
④S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常数，n∈N^*），
所以此数列为首项是a₁，公比为q≠1的等比数列，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
所以A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，B=-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，∴A+B=0，故④正确；
对于⑤，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3．c=4，满足a²+b²＞c²，故⑤不正确；
故选：B．

点评 此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题．属中档题．