题目内容
3．已知实数a，b，c，满足0＜a≤b≤c≤$\frac{1}{2}$，求证：$\frac{2}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$+$\frac{1}{b（1-a）}$．分析 证明$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-a）}$，$\frac{1}{a（1-a）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，同理$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{b（1-a）}$，即可证明结论．
解答 证明：∵0＜a≤c≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$-$\frac{1}{a（1-a）}$=$\frac{ac（c-a）}{ca（1-c）（1-a）}$≤0，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-a）}$，
∵0＜a≤b≤$\frac{1}{2}$，
∴1-a≥1-b＞0，
∴a（1-a）≥a（1-b）＞0，
∴$\frac{1}{a（1-a）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，
∴$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$，
同理$\frac{c}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{b（1-a）}$，
∴$\frac{2}{c（1-c）}$≤$\frac{1}{a（1-b）}$+$\frac{1}{b（1-a）}$
点评 本题考查不等式的证明，考查作差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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13．圆（x-1）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别为（ ）
| A． | （1，-3），$\sqrt{2}$ | B． | （-1，3），2 | C． | （1，3），2 | D． | （-1，3），$\sqrt{2}$ |
如图所示，质量a=2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体运动过程中的坐标与时间的关系为 $\left\{\begin{array}{l}{x=3.0t（m）}\\{y=0.2{t}^{2}（m）}\end{array}\right.$，g=10m/s2 ，根据以上条件，求：