题目内容

14.设平面内有四个向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$,满足$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$,|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1.
(1)用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$;
(2)若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为θ,求cosθ的值.

分析 (1)由题意解关于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程组可得;
(2)由(1)知结合向量的数量积和模长公式可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$及|$\overrightarrow{m}$|和|$\overrightarrow{n}$|,代入向量的夹角公式可得.

解答 解:(1)由题意可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$,
联立解关于$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$的方程组可得$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$;
(2)由(1)知$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{n}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$,又$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$,|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1,
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=($\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$)•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3,
由模长公式可得|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

点评 本题考查平面向量的数量积和模长公式,以及向量的夹角公式,属基础题.

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