题目内容
2．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅲ）求三棱锥C1-ADB1的体积．
分析 （Ⅰ）证明AD⊥平面B1BCC1，利用线面垂直的判定，证明CC1⊥AD，BC⊥AD，即可‘
（Ⅱ）连接A1C，交AC1于点O，连接OD，利用OD为△A1BC中位线，可得A1B∥OD，利用线面平行的判定，可证A1B∥平面ADC1；
（Ⅲ）转换底面，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥C1-ADB1的体积．
解答 （Ⅰ）证明：因为ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC
因为AD?平面ABC，所以CC1⊥AD
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，
因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面B1BCC1．
（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．
由 ABC-A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，
所以A1B∥OD，
因为A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1；
（Ⅲ）解：三棱锥C1-ADB1的体积=${V}_{A-{C}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•AD$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
点评 本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，掌握线面垂直、线面平行的判定是关键．
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