题目内容

5.已知函数f(x)=|2x-3|+|2x-1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)设m.n∈R,且m+n=1,求证:$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f(x)}$.

分析 (1)①当$x≤\frac{1}{2}$时,②当$\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$时,③当$x≥\frac{3}{2}$时,去掉绝对值符号求解不等式即可.
(2)要证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f(x)}$成立,只需证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$,利用分析法的证明步骤,结合基本不等式证明即可.

解答 (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
解:(1)①当$x≤\frac{1}{2}$时,原不等式化为3-2x+1-2x≥3,解得,$x≤\frac{1}{4}$;
∴$x≤\frac{1}{4}$
②当$\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$时,原不等式化为3-2x+2x-1≥3,无解;
③当$x≥\frac{3}{2}$时,原不等式化为2x-3+2x-1≥3,解得,$x≥\frac{7}{4}$;
∴$x≥\frac{7}{4}$
综上,不等式f(x)≥3的解集为{x|$x≤\frac{1}{4}$或$x≥\frac{7}{4}$}.…(5分)
(2)|2x-3|+|2x-1|≥|(2x-3)-(2x-1)|=2,…(7分)
要证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{f(x)}$成立
只需证$\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1}≤2\sqrt{2}$,
即证${(\sqrt{2m+1}+\sqrt{2n+1})^2}≤8$,
即证$2m+1+2n+1+2\sqrt{(2m+1)(2n+1)}≤8$,
即证$\sqrt{(2m+1)(2n+1)}≤2$,
即证(2m+1)(2n+1)≤4,
即证$mn≤\frac{1}{4}$,
又m+n=1,
∴$mn≤{(\frac{m+n}{2})^2}=\frac{1}{4}$.
故原不等式成立.…(10分)

点评 本题考查分析法证明不等式的方法,基本不等式的应用,绝对值不等式的解法,考查逻辑推理能力以及计算能力.

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