题目内容
【题目】四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V=
,求二面角D﹣AE﹣C的大小.
【答案】
(1)证明:连结BD交AC于点O,连结EO,
∵ABCD为矩形,∴O为BD的中点,
又E为的PD的中点,∴EO∥PB,
EO平面AEC,PB平面AEC,
∴PB∥平面AEC
(2)解:∵PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
∴AB,AD,AP两两垂直,
如图,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,
建立空间直角坐标系A﹣xyz,
∵AP=1,AD= ,三棱锥P﹣ABD的体积V=
,
∴三棱锥P﹣ABD的体积 ,得
.
则A(0,0,0),D(0, ,0),B(
,0,0),E(0,
,
),C (
,
,0),
则 =(0,
,
),
=(
,
,0)
设 为平面ACE的法向量,
则 ,即
,令x=1,得
,
,则
=(1,
,
),
又 为平面DAE的法向量,
∴cos< >=
,
如图可得二面角D﹣AE﹣C为锐角,∴二面角D﹣AE﹣C为 .
【解析】(1)连结BD交AC于点O,连结EO,由已知可得EO∥PB,然后利用线面平行的判定可得PB∥平面AEC;(2)由PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,可得AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A﹣xyz,再由三棱锥P﹣ABD的体积V=
求得AB,得到A,D,B,E,C的坐标,然后求出平面ACE与平面DAE的法向量,由两法向量所成角的余弦值求得二面角D﹣AE﹣C的大小.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能得出正确答案.
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