题目内容
【题目】设函数f(x)=ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)
(1)若f(1)<0,求a的取值范围;
(2)若f(1)= ,g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求m的值.
【答案】
(1)解:f(x)=ax﹣a﹣x(a>0且a≠1),
∵f(1)<0,
∴a﹣ <0,
又a>0,且a≠1,
∴0<a<1
(2)解:∵f(1)= ,∴a﹣
=
,即2a2﹣3a﹣2=0,
∴a=2或a=﹣ (舍去)
∴g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2
令t=f(x)=2x﹣2﹣x,
则f(x)=2x﹣2﹣x为增函数,
∵x≥1,
∴t≥f(1)= ,
令h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2 (t≥ )
若m≥ ,当t=m时,h(t)min=2﹣m2=﹣2,∴m=2
若m< ,当t=
时,h(t)min=
﹣3m=﹣2,解得m=
>
,舍去
综上可知m=2
【解析】(1)根据f(1)<0,解不等式可得a的取值范围.(2)根据f(1)= 确定a=2的值,从而可得函数g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2.令t=f(x)=2x﹣2﹣x , 由(1)可知f(x)=2x﹣2﹣x为增函数,可得t≥f(1)=
,令h(t)=t2﹣2mt+2=(t﹣m)2+2﹣m2 (t≥
),分类讨论,利用最小值为﹣2,可求m的值
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和指、对数不等式的解法的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值;指数不等式的解法规律:根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律:根据对数函数的性质转化才能正确解答此题.
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