Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．A为椭圆C上一动点（A异于左、右顶点），F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，且△AF₁F₂面积的最大值为1；
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）如图，已知点P（2，0），连接AP交椭圆C于点M，连接AF₁、MF₁并延长分别交椭圆C于点B、N，记$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=μ$\overrightarrow{{F}_{1}N}$（λ、μ∈R），求λ+μ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$及$\frac{1}{2}•2c•b=1$，计算即得结论；
（Ⅱ）通过联立直线AF₁与椭圆C的方程，利用韦达定理可得λ的表达式，通过联立直线AP与椭圆C的方程可得μ的表达式，利用基本不等式计算可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题知，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$且$\frac{1}{2}•2c•b=1$，
∴$a=\sqrt{2}，b=c=1$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₀，y₀），则${x_0}^2+2{y_0}^2=2$，
∵F₁（-1，0），∴直线$A{F_1}：y=\frac{y_0}{{{x_0}+1}}（x+1）$，
直线AF₁与椭圆C的方程联立得：$（3+2{x_0}）{x^2}+4{y_0}^2x-3{x_0}^2-4{x_0}=0$，
此方程的两根即为A、B两点的横坐标，则${x_B}=-\frac{{3{x_0}+4}}{{2{x_0}+3}}$，
∴$λ=\frac{{-1-{x_0}}}{{{x_B}+1}}=2{x_0}+3$，
又直线$AP：y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，
直线AP与椭圆C的方程联立得：$（6-4{x_0}）{x^2}-8{y_0}^2x-6{x_0}^2+8{x_0}=0$，
此方程的两根即为A、M两点的横坐标，则${x_M}=\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}$，
同理可得，$μ=2•\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}+3$，
∴$λ+μ=2{x_0}-3+\frac{1}{{2{x_0}-3}}+12$，
又${x_0}∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，
∴$2{x_0}-3∈（-2\sqrt{2}-3，2\sqrt{2}-3）$，
∴λ+μ∈（6，10]．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到向量共线、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．