题目内容

3.若函数f(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零点,则a的取值范围是[3,+∞).

分析 由f(x)=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$,构造函数g(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,利用导数,求函数的极值即可得到结论.

解答 解:f(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a=0得a=lnx+x+$\frac{2}{x}$,
设g(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,则函数的定义域为(0,+∞),
则函数的导数g′(x)=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$,
由g′(x)=$\frac{1}{x}+1-\frac{2}{{x}^{2}}$=0,得$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$-1=0,
即($\frac{1}{x}$-1)($\frac{2}{x}$+1)=0
∵x>0,∴$\frac{2}{x}$>0,
∴$\frac{1}{x}$-1=0,即$\frac{1}{x}$=1,解得x=1.
当0<x<1时,g′(x)<0,此时函数g(x)递减,
当x>1时,g′(x)>0,此时函数g(x)递增,
即当x=1时,函数g(x)取得极小值,g(1)=ln1+1+2=3,
即g(x)≥3,
若函数f(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$-a有零点,即方程g(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$=a有解,
即a≥3,
故a的取值范围是[3,+∞),
故答案为:[3,+∞)

点评 本题主要考查函数零点的意义,构造函数,利用导数求出函数的最值是解决本题的关键.综合性较强.

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