Question

【题目】已知函数f（x）= x2+（a+1）x+2ln（x﹣1）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜﹣2，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

得切线斜率为k=f'（2）=3a+3，

据题设，k=2，所以 ，故有 ，

所以切线方程为y﹣f（2）=2（x﹣2），

即6x﹣3y﹣10=0，

（2）解：

当a=0时， ，

由于x＞1，所以 ，

可知函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，

当a≠0时， ，

若a＞0，则 ，

可知当x＞1时，有f'（x）＞0，

函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，

若a＜0，则 ，

得当 时，f'（x）＞0；

当 时，f'（x）＜0．

所以，函数f（x）在区间 上单调递增，

在区间 上单调递减．

综上，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是定义区间（1，+∞）；

当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为 ，减区间为 ，

（3）解：当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；

当a＜0时，由（Ⅱ）知 ．

故只需 ，即 ．

令t=﹣a，则不等式为 ，且t＞0．

构造函数 ，

则 ，

知函数g（t）在区间（0，+∞）上单调递增．

因为g（1）=4ln1+3﹣2﹣1=0，所以当t＞1时，g（1）＞0，

这说明不等式 的解为t＞1，即得a＜﹣1．

综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）

【解析】（1）由 ，得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，据题设，k=2，所以 ，故有 ，由此能求出切线方程．（2）由 ，知当a=0时， ，由于x＞1，所以 ，由此能够讨论函数f（x）的单调区间．（3）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；当a＜0时，由（2）知 ．故只需 ，即 ．由此能求出实数a的取值范围．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．