题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧面
底面ABCD，且
，设E，F分别为PC，BD的中点．
（1）求证：
平面PAD；
（2）求直线EF与平面PBD所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
．
【解析】
（1）利用线面平行的判定定理：连接
，只需证明
，利用中位线定理即可得证；
（2）取
的中点
，连接
，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）证明：
为平行四边形，
连结
，
为中点，
为
中点，
在
中，且
平面
，
平面，
平面；
（2）取的中点，连接，
且为的中点，
，
又侧面
底面，
底面；
建立如图所示的空间直角坐标系，令正方形的边长
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
设面
的法向量为
，
令
则
，
，
设直线
与平面所成角为
，则
故直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现从这两校参加考试的学生数学成绩在100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如下的茎叶图．
（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；
（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90
的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关；
（3）若从这40名学生中选取数学成绩在
的学生，用分层抽样的方式从甲乙两校中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人分析其失分原因，求这3人中恰有2人是乙校学生的概率．
参考公式与临界值表：
，其中
．
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
