题目内容
【题目】已知点在抛物线
:
的准线上,过点
作抛物线
的两条切线,切点分别为
,
.
(1)证明:为定值;
(2)当点在
轴上时,过点
作直线
,
交抛物线
于
,
两点,满足
.问:直线
是否恒过定点
,若存在定点,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)直线过定点
.
【解析】
(1) 求导,求得直线PA的方程,将P代入直线方程,求得,同理可知
.则
,
是方程x2﹣2ax﹣4=0的两个根,则由韦达定理求得
的值,即可求证
为定值;
(2) 设,
.利用点差法可得
,同理可得
,
结合垂直关系可得,又因为
,两式作差,可得
,
,从而可得结果.
解:(1)法1:抛物线:
的准线为
:
,故可设点
,
由,得
,所以
.所以直线
的斜率为
.
因为点和
在抛物线
上,所以
,
.
所以直线的方程为
.
因为点在直线
上,
所以,即
.
同理,.
所以,
是方程
的两个根,所以
.
又,所以
为定值.
法2:设过点且与抛物线
相切的切线方程为
,
由,消去
得
,
由,化简得
,所以
.
由,得
,所以
.
所以直线的斜率为
,直线
的斜率为
.
所以,即
.
又,
所以为定值.
(2)存在,由(1)知.
不妨设,则
,
,即
,
.
设,
.
则,两式作差,可得
,
所以直线的斜率为
,同理可得
,
因为,所以
,
整理得,①
又因为,两式作差,可得
,
从而可得直线的斜率为
,
所以直线的方程为
,
化简可得,
将①代入上式得,
整理得.
所以直线过定点
,即
点的坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2018年10月28日,重庆公交车坠江事件震惊全国,也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查,并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
(1)求得分在上的频率;
(2)求社区居民问卷调查的平均得分的估计值;(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(3)由于部分居民认为此项学习不具有必要性,社区委员会对社区居民的学习态度作调查,所得结果统计如下:(表中数据单位:人)
认为此项学习十分必要 | 认为此项学习不必要 | |
50岁以上 | 400 | 600 |
50岁及50岁以下 | 800 | 200 |
根据上述数据,计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附:,其中
.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某电子科技公司由于产品采用最新技术,销售额不断增长,最近个季度的销售额数据统计如下表(其中
表示
年第一季度,以此类推):
季度 | |||||
季度编号x | |||||
销售额y(百万元) |
(1)公司市场部从中任选个季度的数据进行对比分析,求这
个季度的销售额都超过
千万元的概率;
(2)求关于
的线性回归方程,并预测该公司
的销售额.
附:线性回归方程:其中
,
参考数据:.