题目内容

【题目】已知椭圆:的四个顶点围成的四边形的面积为,原点到直线的距离为.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知定点,是否存在过的直线,使与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在,求出的方程:若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)存在,且方程为.

【解析】

(1)依题意列出关于a,b,c的方程组,求得a,b,进而可得到椭圆方程;(2)联立直线和椭圆得到要使以为直径的圆过椭圆的左顶点,则结合韦达定理可得到参数值.

(1)直线的一般方程为.

依题意,解得,故椭圆的方程式为.

(2)假若存在这样的直线

当斜率不存在时,以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点,

所以可设直线的斜率为,则直线的方程为.

,得.

,得.

的坐标分别为

.

要使以为直径的圆过椭圆的左顶点,则

所以

整理解得

所以存在过的直线,使与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的左顶点,直线的方程为.

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