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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(2)设曲线轴的一个交点的坐标为,经过点作斜率为1的直线, 交曲线两点,求线段的长.

【答案】(1)以为圆心,半径为的圆.(2)

【解析】试题分析:(1)利用三角恒等式消参化简 的方程即可,利用极坐标与直角坐标的关系,等式两侧乘以 即可将 的极坐标方程化简为直角坐标方程;(2)利用题意结合(1)中的结论求得点 的直角坐标,然后利用点到直线的距离公式求解距离即可.

试题解析:

(1)曲线的普通方程为,表示焦点在轴上的椭圆,

,得,整理得

即为曲线的普通方程,表示以为圆心,半径为的圆.

(2)令,得,所以,直线

将曲线的参数方程代入直线方程得:

整理得,即,或

所以 .

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