题目内容
【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线与
轴交点的横坐标为
.
(1)求;
(2)证明:当时,曲线
与直线
只有一个交点.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1),由导数的几何意义得
,故切线方程为
,将点
代入求
;(2)曲线
与直线
只有一个交点转化为函数
有且只有零点.一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点,从而判断函数大致图象,再说明与
轴只有一个交点.本题首先入手点为
,当
时,
,且
,
,所以
在
有唯一实根.只需说明当
时无根即可,因为
,故只需说明
,进而转化为求函数
的最小值问题处理.
(1),
.曲线
在点
处的切线方程为
.由题设得,
,所以
.
(2)由(1)得, .设
.由题设得
.当
时,
,
单调递增,
,
,所以
在
有唯一实根.当
时,令
,则
.
,
在
单调递减;在
单调递增.所以
.所以
在
没有实根,综上,
在
上有唯一实根,即曲线
与直线
只有一个交点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】环境监测中心监测我市空气质量,每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制,保留一位小数),现随机抽取20天的指数(见下表),将指数不低于视为当天空气质量优良.
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空气质量指数 |
天数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空气质量指数 |
(1)求从这20天随机抽取3天,至少有2天空气质量为优良的概率;
(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多),若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数,用表示抽到空气质量为优良的天数,求
的分布列及数学期望.