Question

15．已知实数x、y、z满足x²+4y²+9z²=a（a＞0），且x+y+z的最小值是-14，求a的值．

Answer 1

分析 利用柯西不等式即可得出．

解答 解：由柯西不等式可知：（x+y+z）²≤[x²+（2y）²+（3z）²]$[{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{2}]$=$\frac{49}{36}$a，
∴$x+y+z≥-\frac{7\sqrt{a}}{6}$=-14，
解得a=144，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{2y}{\frac{1}{2}}=\frac{3z}{\frac{1}{3}}$即x=4y=9z＜0时取等号．
∴a=-14．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．