Question

20．如图1，在梯形ABCE中，AB∥CE，D是CE的中点，BC∥AD，AB=BC=2，∠BAD=60°，沿AD把梯形折成如图2所示的四棱锥E-ABCD．
（1）求证：AD⊥EB；
（2）当平面EAD⊥平面ABCD时，求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）首先根据题中的已知条件求出相关的线段长，然后根据所求的结果来进一步判断线面垂直，最后转化为线线垂直．
（2）取AD的中点F，则EF⊥平面ABCD，再求四棱锥E-ABCD的体积．

解答 （1）证明：梯形ABCE中，AB∥CE，D是CE中点，BC∥AD，AB=BC=2，∠BAD=60°连结BE交AD于M点，
在△ABE中利用余弦定理：BE²=AE²+AB²-2AE•ABcos∠EAB，
解得：BE=2$\sqrt{3}$且△ABE为等边三角形，EM=EB=$\sqrt{3}$，
AD⊥EM，
根据梯形的边角关系求得：AD⊥BM，
∴AD⊥面EMB，
∴BE?面EMB，
∴AD⊥BE；
（2）解：取AD的中点F，则EF⊥AD，
∵EF⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD⊥平面ABCD=AD，
∴EF⊥平面ABCD，
∵EF=$\sqrt{3}$，S_ABCD=AB•ADsin60°=2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

点评 本题考查的勾股定理及余弦定理，线面垂直的判定及性质定理，考查四棱锥E-ABCD的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．