Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁≠0，且a₁S_n=2a_n-a₁，n∈N*，
（1）求a₁，a₂，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过在a₁S_n=2a_n-a₁中令n=1可知a₁=1，令n=2可知a₂=2，通过S_n=2a_n-1与S_n-1=2a_n-1-1作差、整理可知数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）知$n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）令n=1，得${a_1}^2=2{a_1}-{a_1}$，即${a_1}^2={a_1}$，
因为a₁≠0，所以a₁=1．
令n=2，得S₂=2a₂-1=1+a₂，即a₂=2．
当n≥2时，由S_n=2a_n-1知：S_n-1=2a_n-1-1，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，
于是数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
因此，${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）由（1）知，$n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，
记数列{na_n}的前n项和 T_n，
于是${T_n}=1+2×2+3×{2^2}+4×{2^3}+…+（{n-1}）×{2^{n-2}}+n×{2^{n-1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;①$
$2{T_n}=2+2×{2^2}+3×{2^3}+\;\;\;\;…\;\;\;\;\;\;\;\;+（{n-1}）×{2^{n-1}}+n×{2^n}\;\;\;②$
②-①得，${T_n}=-（{1+2+{2^2}+{2^3}+…+{2^{n-1}}}）+n•{2^n}$
从而${T_n}=1-{2^n}+n•{2^n}=1+（{n-1}）•{2^n}$，
因此，数列{na_n}的前n项和为1+（n-1）•2ⁿ．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．