Question

．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，
DE⊥EB

(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(2)若AD=6，AE=6，求BC的长。

Answer 1

(1) 见解析；(2) BC=4。

本题主要考查了切线的判定定理的应用，直角三角形基本关系的应用，属于基本知识的简单综合．
（Ⅰ）要证明AC是△BDE的外接圆的切线，故考虑取BD的中点O，只要证明OE⊥AC，结合∠C=90°，证明BC∥OE即可
（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，由OA²=OE²+AE²，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，进而可求∠CBE=∠OBE，在BCE中，通过EC与BE的关系可求
解：(1)取BD的中点O，连结OE
∵DE⊥EB
∴DB是△BED的外接圆的直径，
∴OE是⊙O的半径
∴BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∵OE=OB ∴∠ABE=∠DEO
∴∠DEO=∠EBC，∴EO∥BC
∵∠C=90º，∴∠AEO=90º  ∴AC是⊙O的切线……….6分
(2)由(1)得：AE²=AD•AB
∴(6)²=6•AB，AB=12，∴OE=OD=3，AO=9
∵EO∥BC，∴，即，∴BC=4………12分