Question

15．定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足$f（{x_0}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．如y=x²是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x³+mx是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=x³+mx是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x³+mx是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根．
由x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$⇒x³+mx-m-1=0，解得x²+m+1+x=0或x=1．
又1∉（-1，1）
∴x²+m+1+x=0的解为：$\frac{-1±\sqrt{-3-4m}}{2}$，必为均值点，即$-1＜\frac{-1+\sqrt{-3-4m}}{2}＜1$⇒-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．
$-1＜\frac{-1-\sqrt{-3-4m}}{2}＜1$⇒$-\frac{1}{2}$＜m≤$-\frac{3}{4}$
∴所求实数m的取值范围是-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．
故答案为：-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．

点评 本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．