Question

7．已知AB是⊙O的直径，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线EC与⊙O相切于C，交AB于E，连接AC，且∠OAC=∠CAF，求证：
（1）AF⊥EC；
（2）若AE=5，AF=2，求AC．

Answer 1

分析 （1）设EC与AF交于M，连接BC，则BC⊥AC，证明∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°，即可证明AF⊥EC；
（2）证明△ACE∽△AFC，可得AC²=AE•AF，利用AE=5，AF=2，求AC．

解答 （1）证明：设EC与AF交于M，连接BC，则BC⊥AC，
因为直线EC与⊙O相切于C，
所以∠ACM=∠ABC，
因为∠OAC=∠CAF，
所以∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°，
所以AF⊥EC；
（2）解：连接CF，则∠MCF=∠MAC，∠ECB=∠OAC，
因为∠OAC=∠CAF，
所以∠ACE=∠AFC，
所以△ACE∽△AFC，
所以$\frac{AC}{AF}=\frac{AE}{AC}$，
所以AC²=AE•AF，
因为AE=5，AF=2，
所以AC=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．