Question

18．若{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=2013，a₂²$+{a}_{{3}^{\;}}$²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=2014，则a₃-a₄+a₅-a₆+…+a₂₀₁₅=$\frac{2014}{2013}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=2013，a₂²$+{a}_{{3}^{\;}}$²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=2014，可得q≠1，$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2013}）}{1-q}$=2013，$\frac{{a}_{1}^{2}{q}^{2}[1-（{q}^{2}）^{2013}]}{1-{q}^{2}}$=2014，相除即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₃=2013，a₂²$+{a}_{{3}^{\;}}$²+a₄²+a₅²+…+a₂₀₁₄²=2014，
∴q≠1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2013}）}{1-q}$=2013，$\frac{{a}_{1}^{2}{q}^{2}[1-（{q}^{2}）^{2013}]}{1-{q}^{2}}$=2014，
∴$\frac{{a}_{1}{q}^{2}[1-（-q）^{2013}]}{1-（-q）}$=$\frac{2014}{2013}$．
则a₃-a₄+a₅-a₆+…+a₂₀₁₅=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}[1-（-q）^{2013}]}{1-（-q）}$=$\frac{2014}{2013}$．
故答案为：$\frac{2014}{2013}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．