题目内容

10.(1)已知f(x)=|logax|,(0<a<1),比较f($\frac{1}{4}$),f($\frac{1}{3}$),f(2);
(2)logm2>logn2>0,比较m,n的大小;
(3)若a2>b>a>1,比较logb$\frac{b}{a}$,loga$\frac{a}{b}$,logba,logab的大小.

分析 (1)由函数f(x)=|logax|在(0,1)上单调性可判断三个函数值的大小;
(2)利用换底公式,将logm2,logn2换成同底,进而可比较m,n的大小;
(3)根据a2>b>a>1,利用对数的运算性质及对数函数的图象和性质,可得logb$\frac{b}{a}$,loga$\frac{a}{b}$,logba,logab的大小.

解答 解:(1)∵0<a<1,
∴当x∈(0,1)时,f(x)=|logax|=logax单调递减,
又∵f(2)=f($\frac{1}{2}$);
∴f($\frac{1}{4}$)>f($\frac{1}{3}$)>f(2)
(2)∵logm2>logn2>0,
∴$\frac{1}{{log}_{2}m}$>$\frac{1}{{log}_{2}n}$>0,
故log2m<log2n,
即m<n,
(3)若a2>b>a>1,
则logab∈(1,2),logba∈($\frac{1}{2}$,1),
logb$\frac{b}{a}$=1-logba∈(0,$\frac{1}{2}$),
loga$\frac{a}{b}$=1-logab∈(-1,0)
∴loga$\frac{a}{b}$<logb$\frac{b}{a}$<logba<logab

点评 本题主要考查了利用对数函数的单调性比较对数值的大小,解答本题的关键是熟练掌握对数函数的图象和性质.

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