Question

8．已函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1；
（1）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer 1

分析 （1）利用函数的奇偶性，将x∈[-1，0]，转化为-x∈[0，1]上即可求函数f（x）的解析式；并根据函数奇偶性和单调性的关系判断f（x）在[-1，1]上的单调性．
（2）利用函数的奇偶性和单调性将不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0转化为f（2x-1）≥-f（1-x²）=f（x²-1），解不等式即可．

解答 解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1，
∴f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-ln（-x+1）+1，x∈[-1，0]，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+ln（x+1）-1，0≤x≤1}\\{-{2}^{-x}-ln（1-x）+1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$；
∵y=2^x，y=ln（x+1），在定义域上为增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的单调递增．
（2）由f（2x-1）+f（1-x²）≥0，得f（2x-1）≥-f（1-x²）=f（x²-1）．
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴-f（1-x²）=f（x²-1）．
即不等式等价为f（2x-1）≥f（x²-1）．
∵f（x）在[-1，1]上的单调递增．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{2x-1≥{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得x=0．
故不等式的解集为{0}．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用函数的单调性解不等式，考查函数性质的综合应用．