题目内容
【题目】已知椭圆:
,若椭圆
:
,则称椭圆
与椭圆
“相似”.
(1)求经过点,且与椭圆
:
“相似”的椭圆
的方程;
(2)若,椭圆
的离心率为
,
在椭圆
上,过
的直线
交椭圆
于
,
两点,且
.
①若的坐标为
,且
,求直线
的方程;
②若直线,
的斜率之积为
,求实数
的值.
【答案】(1);(2)①
,②
.
【解析】试题分析:
⑴设椭圆的方程为
,结合椭圆过点
可得椭圆
的方程为
.
⑵由题意设椭圆,椭圆
,设
,
①方法一:联立直线方程与椭圆方程可得,则
,
,代入椭圆
可得
,解得
,直线
的方程为
.
方法二:由题意得,则椭圆
,
,
设,则
,联立椭圆方程可得
, 则直线
的方程为
.
②方法一: 由题意得,结合
,则
,可得:
,
整理计算得到关于的方程:
,
.
方法二:不妨设点在第一象限,直线
,与椭圆方程联立可得
,则
,直线
的斜率之积为
,计算可得
,则
,结合
,可得
,即
,
.
试题解析:
⑴设椭圆的方程为
,代入点
得
,
所以椭圆的方程为
.
⑵因为椭圆的离心率为
,故
,所以椭圆
,
又椭圆与椭圆
“相似”,且
,所以椭圆
,
设,
①方法一:由题意得,所以椭圆
,将直线
,
代入椭圆得
,
解得,故
,
所以,
又,即
为
中点,所以
,
代入椭圆得
,
即,即
,所以
,
所以直线的方程为
.
方法二:由题意得,所以椭圆
,
,
设,则
,
代入椭圆得,解得
,故
,
所以,
所以直线的方程为
.
②方法一: 由题意得,
,即
,
,则
,解得
,
所以,
则,
,
所以,即
,所以
.
方法二:不妨设点在第一象限,设直线
,代入椭圆
,
解得,则
,
直线的斜率之积为
,则直线
,代入椭圆
,
解得,则
,
,则
,解得
,
所以,
则,
,
所以,
即,即
,所以
.
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