题目内容
【题目】【2018甘肃兰州市高三一诊】已知圆:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(I)求点的轨迹
的方程;
(II)设过点的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设,证明:
;
②求四边形的面积的最小值.
【答案】(I).(II)①见解析.②
.
【解析】试题分析:
(1)设动圆半径为,由于
在圆内,圆
与圆
内切,由题意可得
,则点
的轨迹
是椭圆,其方程为
.
(2)①由题意可知,而
,
,
,
为不同的四个点,故
.
②若或
的斜率不存在,四边形
的面积为
.否则,设
的方程为
,联立直线方程与椭圆方程可得
,同理得
,则
,当且仅当
时等号成立.则四边形
的面积取得最小值为
.
试题解析:
(1)设动圆半径为,由于
在圆内,圆
与圆
内切,
则,
,
,
由椭圆定义可知,点的轨迹
是椭圆,
,
,
,
的方程为
.
(2)①证明:由已知条件可知,垂足在以
为直径的圆周上,
则有,
又因,
,
,
为不同的四个点,
.
②解:若或
的斜率不存在,四边形
的面积为
.
若两条直线的斜率存在,设的斜率为
,
则的方程为
,
解方程组,得
,
则,
同理得,
∴
,
当且仅当,即
时等号成立.
综上所述,当时,四边形
的面积取得最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近13年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
由散点图知,按建立
关于
的回归方程是合理的.令
,则
,经计算得如下数据:
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根据以上信息,建立关于
的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与
的关系为
.根据(1)的结果,求当年宣传费
时,年利润的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.