题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求证:“”是“函数
有且只有一个零点” 的充分必要条件.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据切线的几何意义得到切线的斜率,
,所以切线方程为
;(2)先证充分性再证必要性,含参讨论,函数图像和x轴的交点情况。
解析:
(Ⅰ)依题意,
所以切线的斜率
又因为,所以切线方程为
.
(Ⅱ)先证不必要性.
当时,
,令
,解得
.
此时, 有且只有一个零点,故“
有且只有一个零点则
”不成立.
再证充分性.
方法一:
当时,
.
令,解得
.
(i)当,即
时,
,
所以在
上单调增.
又,
所以有且只有一个零点.
(ii)当,即
时,
,
随
的变化情况如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
当时,
,
,所以
又
所以有且只有一个零点.
(iii)当,即
时,
,
随
的变化情况如下:
0 | |||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
因为,所以
时,
令,则
.
下面证明当时,
.
设,则
.
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减
所以当时,
取得极大值
.
所以当时,
, 即
.
所以.
由零点存在定理, 有且只有一个零点.
综上, 是函数
有且只有一个零点的充分不必要条件.
方法二:
当时,注意到
时,
,
,
,
因此只需要考察上的函数零点.
(i)当,即
时,
时,
,
单调递增.
又
有且只有一个零点.
(ii)当,即
时,以下同方法一.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某组织在某市征集志愿者参加志愿活动,现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况,具体数据如图所示.
(1)根据条件完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关?
愿意 | 不愿意 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者,再从中抽取2人作为队长,求抽取的2人至少有一名女生的概率.
参考数据及公式:
.
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:千元)对年销售量
(单位:
)和年利润
(单位:千元)的影响,对近13年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
由散点图知,按建立
关于
的回归方程是合理的.令
,则
,经计算得如下数据:
| |||||
10.15 | 109.94 | 0.16 | -2.10 | 0.21 | 21.22 |
(1)根据以上信息,建立关于
的回归方程;
(2)已知这种产品的年利润与
的关系为
.根据(1)的结果,求当年宣传费
时,年利润的预报值是多少?
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.