Question

【题目】设F（0，1），点P在x轴上，点Q在y轴上， =2 ， ⊥ ，当点P在x轴上运动时，点N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C于A，B两点，且曲线C在A，B两点处的切线相交于点M，若△MAB的三边成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：设N（x，y），

∵点P在x轴上，点Q在y轴上， =2 ， ⊥ ，

∴P（ ，0），Q（0，﹣y），

∵F（0，1），∴ =（ ，y）， =（﹣ ，1），

∵ ⊥ ，∴ =﹣ +y=0，

∴曲线C的方程为x2=4y．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=kx+1，

联立 ，得x2﹣4kx﹣4=0，

则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

直线MA的方程为 ，直线MB的方程为 ，

联立 ，得M（2k，﹣1），

∴点M到直线AB的距离d=2 ，

∵kMAkMB= =﹣1，∴MA⊥MB，

∴|MA|2+|MB|2=|AB|2，①

∵△MAB的三边成等差数列，不妨设|MA|＜|MB|，

∴|MA|+|AB|=2|MB|，②

由①②，得|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，

∵S△MAB= = |AB|d，∴ = ，

又|AB|=4（k2+1），

∵ = = ，∴ = ，

∴点M到直线AB的距离d=2 = ．

【解析】（1）设N（x，y），则P（ ，0），Q（0，﹣y），由此根据题设条件能求出曲线C的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线l：y=kx+1，与椭圆联立，得x2﹣4kx﹣4=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、等差数列、勾股定理、椭圆性质，结合已知条件能求出点M到直线AB的距离．