题目内容
【题目】正实数a,b满足ab=ba , 且0<a<1,则a,b的大小关系是( )
A.a>b
B.a=b
C.a<b
D.不能确定
【答案】B
【解析】解:法一、由ab=ba , 得blna=alnb,从而 ,
考虑函数y= (x>0),y′=
.
∵在(0,1)内f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)内是增函数,
由于0<a<1,b>0,∴ab<1,从而ba=ab<1.由ba<1及a>0,
可推出b<1.
由0<a<1,0<b<1,假如a≠b,
则根据f(x)在(0,1)内是增函数,
得f(a)≠f(b),即 ,
从而ab≠ba , 这与ab=ba矛盾.
∴a=b;
法二、∵0<a<1,ab=ba ,
∴blogaa=alogab,即 =logab,
假如a<b,则 >1,
∵a<1,根据对数函数的性质,
得logab<logaa=1,从而 ,这与
矛盾,
∴a不能小于b
假如a>b,则 <1,而logab>1,这也与
矛盾.
∴a不能大于b,因此a=b.
故选:B.
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