题目内容
【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx﹣ )(其中A,ω为常数,且A>0,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(α+ )=
,f(β+
)=
,且α,β∈(0,
),求α+β的值.
【答案】
(1)解:据函数y=f(x)的解析式及其图象可知A=2,
且 T=
﹣(﹣
)=π,其中T为函数y=f(x)的最小正周期,故T=2π,
所以 =2π,解得ω=1,
所以f(x)=2sin(x﹣ ).
(2)解:由f(α+ )=
,可知2sin(
﹣
)=
,即sinα=
,
因为α∈(0, ),
所以cos =
=
.
由f(β+ )=
,可知2sin(
﹣
)=
,即sin(x+
)=
,
故cosβ= ,
因为β∈(0, ),
所以sin =
,
于是cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ×
﹣
×
=
.
因为α,β∈(0, ),
所以α+β∈(0,π),
所以α+β= .
【解析】(1)由图可知A的值,由T,可求ω,从而可求函数f(x)的解析式.(2)由f(α+ )=
,可知sinα,利用同角三角函数基本关系式可求cosα,由f(β+
)=
,可知cosβ,利用同角三角函数基本关系式可求sinβ,利用两角和的余弦函数公式可求cos(α+β),结合范围α+β∈(0,π),即可得解α+β的值.
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