题目内容
已知函数.其中.
(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数的值;
(3)当<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为,若,求的取值范围.
(1) ;(2)2; (3)
解析试题分析:(1)因为曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,所以分别对这两个函数求导,可得导函数在x=1处的斜率相等,即可求出的值以及求出两条切线方程.再根据平行间的距离公式求出两切线的距离.
(2) 由f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,所以构造一个新的函数,在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到的范围.
(3)根据(2)所得的结论当当<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,所以根据可以得到函数与变量的关系式,从而构造一个新的函数,得到的范围.
试题解析:(1),依题意得: ="2;"
曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,
曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.两直线间的距离为
(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则
当≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾.
当>0时,
当,当时,
所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,
∴h(x)≤
因为h(1)=0,又当≠2时,≠1,与不符.所以=2.
(3)当<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,
不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1,
∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2|
等价于h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2,令H(x)=h(x)+x=lnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数,
∵ (x>0),∴-2x2+x+≤0在x>0时恒成立,∴≤(2x2-x)min又x>0时, (2x2-x)min=
∴a≤-,又a<0,∴a的取值范围是.
考点:1.导数的几何意义.2.含参数的不等式恒成立问题.3.函数方程间的等价变化转化为熟悉的问题从而解决问题.