Question

1．已知函数f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B．其中A＞0，B∈R，且当x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时，f（x）的值域是[-2，1]．
（1）求A与B的值，并作出f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的图象；
（2）若关于x的方程f（x）-c=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实根，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，计算f（x）在x∈[0，$\frac{7π}{12}$]上的值域，求出A、B的值，根据f（x）的解析式画出f（x）在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的图象；
（2）在同一坐标系中画出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的图象和y=c的图象，结合图象求出方程f（x）-c=0有两个不相等的实根的c的取值范围．

解答 解：（1）在函数f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B中，A＞0，B∈R，
当x∈[0，$\frac{7π}{12}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，π]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴-$\frac{1}{2}$A+B≤Asin（2x-$\frac{π}{6}$）+B≤A+B；
又函数f（x）的值域是[-2，1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}A+B=-2}\\{A+B=1}\end{array}\right.$，
解得A=2，B=-1；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
且x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}$π]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[0，2π]，
∴画出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1在区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{13}{12}π$]上的图象，
如图所示：

（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
在同一坐标系中画出f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1在[0，$\frac{π}{2}$]的图象和y=c的图象，
如图所示：

则关于x的方程f（x）-c=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实根，
c的取值范围是0≤c＜1．

点评 本题考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）+B的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是综合性题目．