某厂生产当地一种特产.并以适当的批发价卖给销售商甲.甲再以自己确定的零售价出售.已知该特产的销售与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为80元/件时.销售为7万件,当零售价为50元/件时.销售为10万件.后来.厂家充分听取了甲的意见.决定对批发价改革.将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分.其中固� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．某厂生产当地一种特产，并以适当的批发价卖给销售商甲，甲再以自己确定的零售价出售，已知该特产的销售（万件）与甲所确定的零售价成一次函数关系’当零售价为80元/件时，销售为7万件；当零售价为50元/件时，销售为10万件，后来，厂家充分听取了甲的意见，决定对批发价改革，将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分，其中固定批发价为30元/件，弹性批发价与该特产的销售量成反比，当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，假设不计其它成本，据此回答下列问题
（1）当甲将每件产品的零售价确定为100元/件时，他获得的总利润为多少万元？
（2）当甲将每件产品的零售价确定为多少时，每件产品的利润最大？

分析（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），且y=kx+b，由题意求得k，b，设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，求得t，b的关系式，设总利润为z（万元），求得z的关系式，再令x=100，即可得到所求总利润；
（2）由（1）可得每件的利润为m=x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$（x＜150），运用基本不等式即可得到所求最大值及对应的x值．

解答解：（1）设该特产的销售量y（万件），零售价为x（元/件），
且y=kx+b，由题意可得7=80k+b，10=50k+b，
解得k=-$\frac{1}{10}$，b=15，可得y=15-$\frac{1}{10}$x，
设弹性批发价t与该特产的销售量y成反比，
当销售为10万件，弹性批发价为1元/件，
即有t=$\frac{10}{y}$，
设总利润为z（万元），
则z=（15-$\frac{1}{10}$x）（x-30-$\frac{10}{y}$）=（15-0.1x）（x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$），
令x=100时，则z=（15-10）×（100-30-$\frac{10}{15-10}$）=340，
即有他获得的总利润为340万元；
（2）由（1）可得每件的利润为m=x-30-$\frac{10}{15-0.1x}$（x＜150）
=x-$\frac{100}{150-x}$-30=x-150+$\frac{100}{x-150}$+120
≤120-2$\sqrt{（x-150）•\frac{100}{x-150}}$=120-20=100．
当且仅当x-150=-10，即x=140时，取得等号．
则甲将每件产品的零售价确定为140元/件时，每件产品的利润最大．

点评本题考查一次函数和反比例函数的解析式的求法，考查基本不等式的运用：求最值，注意每件的利润和总利润的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．