Question

10．已知函数f（x）=lnx-a（x-1）（a＞0）．
（1）设函数y=f（x）-a在点x=1处的切线为l，求l恒过定点的坐标；
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线方程，即可得到恒过的定点；
（2）求得f（x）的单调区间，对a讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

解答 解：（1）函数y=f（x）-a=lnx-ax的导数为y′=$\frac{1}{x}$-a，
即有在点x=1处的切线斜率为k=1-a，切点为（1，-a），
则在点x=1处的切线方程为y+a=（1-a）（x-1），
即为y=（1-a）x-1，当x=0时，y=-1，
故l恒过定点（0，-1）；
（2）由（1）知，f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），
f（x）的单调减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），
当e＜$\frac{1}{a}$，即0＜a＜$\frac{1}{e}$，函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上单调递增，
∴x=e时，f（x）_max=lne-a（e-1）；
当$\frac{1}{e}$≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤e，函数在区间[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{a}$]上单调递增，
在[$\frac{1}{a}$，e]上单调递减，
∴x=$\frac{1}{a}$时，f（x）_max=-lna-1+a；
当e＞$\frac{1}{a}$，即a＞$\frac{1}{e}$，函数在区间[$\frac{1}{e}$，e]上单调递减，
∴x=$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=-1-a（$\frac{1}{e}$-1）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查求切线的方程和函数的单调性与最大值的求法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．