Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，sin（B-A）+cos（A+B）=0．
（1）求sinB的值；
（2）若△ABC的面积为3+$\sqrt{3}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）将sin（B-A）+cos（A+B）=0化简得（sinB+cosB）（cosA-sinA）=0，然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围．
（2）借助于（1）中的结论，利用正弦定理得出$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，由面积公式得出ac=$\frac{2（3+\sqrt{3}）}{sinB}$=4$\sqrt{6}$，联立方程组即可解出答案．

解答 解：（1）∵sin（B-A）+cos（A+B）=0．
∴sinBcosA-cosBsinA+cosAcosB-sinAsinB=0
cosA（sinB+cosB）-sinA（sinB+cosB）=0
（sinB+cosB）（cosA-sinA）=0
①若sinB+cosB=0，则sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B=$\frac{3π}{4}$，C=$\frac{π}{4}$-A
∵$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
∴$\frac{sin（\frac{π}{4}-A）}{cos（\frac{π}{4}-A）}$=$\frac{sinA+\frac{\sqrt{2}}{2}}{cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}sinA}{\frac{\sqrt{2}}{2}cosA+\frac{\sqrt{2}}{2}sinA}$=$\frac{sinA+\frac{\sqrt{2}}{2}}{cosA-\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
整理得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos²A-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin²A-$\sqrt{2}$sinAcosA=cosA．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2A=cosA，
即cos（2A+$\frac{π}{4}$）=cosA
∴2A+$\frac{π}{4}$=A+2kπ或2A+$\frac{π}{4}$=-A+2kπ．k∈Z．
∴A=2kπ-$\frac{π}{4}$或A=$\frac{2kπ}{3}-\frac{π}{12}$
又∵0$＜A＜\frac{π}{4}$，
∴上式无解．
②若cosA-sinA=0，则sinA=cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{3π}{4}$-B．
∵$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
∴$\frac{sin（\frac{3π}{4}-B）}{cos（\frac{3π}{4}-B）}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+sinB}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cosB}$，
即$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosB+\frac{\sqrt{2}}{2}sinB}{-\frac{\sqrt{2}}{2}cosB+\frac{\sqrt{2}}{2}sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+sinB}{\frac{\sqrt{2}}{2}+cosB}$，
整理得：$\frac{\sqrt{2}}{2}co{s}^{2}B$-$\frac{\sqrt{2}}{2}si{n}^{2}B$+$\sqrt{2}$sinBcosB+cosB=0
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}cos2B$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2B=-cosB，
即sin（2B+$\frac{π}{4}$）=-sin（$\frac{π}{2}-B$）=sin（B-$\frac{π}{2}$），
∴2B+$\frac{π}{4}$=B-$\frac{π}{2}$+2kπ或2B+$\frac{π}{4}$=π-（B-$\frac{π}{2}$）+2kπ．k∈Z．
∴B=2kπ-$\frac{3π}{4}$或B=$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{5π}{12}$．
又∵0＜B＜$\frac{3π}{4}$，
∴B=$\frac{5π}{12}$．
∴sinB=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
（2）由（1）可知A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{5π}{12}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵S=$\frac{1}{2}$acsinB=3+$\sqrt{3}$，
∴ac=$\frac{8（3+\sqrt{3}）}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$=4$\sqrt{6}$．
∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想．