Question

12．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，a₁=2，前3项的和为14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=3ⁿ-log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；
（2）化简b_n=3ⁿ-log₂a_n=3ⁿ-log₂2ⁿ=3ⁿ-n，再由分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=2，前3项的和为14，
可得a₁+a₁q+a₁q²=14，
即为2+2q+2q²=14，
解得q=2（-3舍去），
则a_n=a₁q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=3ⁿ-log₂a_n=3ⁿ-log₂2ⁿ=3ⁿ-n，
前n项和S_n=（3+3²+…+3ⁿ）-（1+2+…+n）
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-$\frac{1}{2}$n（n+1）
=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-$\frac{1}{2}$n（n+1）．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．