Question

8．（1）已知对任意x∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围．
（2）已知对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴轴为轴为$x=-\frac{a-4}{2}=\frac{4-a}{2}$，对对称轴分别讨论，求出a的取值范围；
（2）函数整理为f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x²-4x+4，可看成关于a的一次方程，
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4，由一次函数的性质可得g（-1）＞0，g（1）＞0，进而求出a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的对称轴为$x=-\frac{a-4}{2}=\frac{4-a}{2}$…1分
①当$\frac{4-a}{2}＜-1$，即a＞6时，…2分
f（x）的值恒大于0等价于f（-1）=1+（a-4）×（-1）+4-2a＞0，解得a＜3，…3分
不存在符合条件的a；…4分
②当$-1≤\frac{4-a}{2}≤1$，即2≤a≤6时，…5分
 只要 $f（{\frac{4-a}{2}}）={（{\frac{4-a}{2}}）^2}+（{a-4}）×\frac{4-a}{2}+4-2a＞0$
，即a²＜0，…6分不存在符合条件的a；
③当$\frac{4-a}{2}＞1$
，即a＜2时，
只要f（1）=1+（a-4）+4-2a＞0，即a＜1，故有．…7分
综上可知，当a＜1时，对任意x∈[-1，1]，…8分
函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于0．…9分
（2）f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x²-4x+4．
令g（a）=（x-2）a+x²-4x+4．…（11分）
由题意，在[-1，1]上，g（a）的值恒大于0，
∴∴$\left\{\begin{array}{l}g（{-1}）=（{x-2}）×（{-1}）+{x^2}-4x+4＞0\\ g（1）=x-2+{x^2}-4x+4＞0\end{array}\right.$…（12分）
解得x＜1或x＞3．…（13分）
故当x＜1或x＞3时，对任意的a∈[-1，1]，函数f（x）的值恒大于0．…（14分）

点评 考查了二次函数和一次函数的性质，题型相似，但参数不同，一个是自变量，一个是参数a，注意区别．