Question

15．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线过点M（$\frac{1}{2}$，1）．
（1）求C的方程；
（2）过C的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=$\frac{25}{12}$，|AF|＜|BF|，求|AF|．

Answer 1

分析 （1）通过设抛物线C的标准方程为y²=2px，代入点M（$\frac{1}{2}$，1）计算可知p=1，进而可得结论；
（2）通过（1）可知焦点F（$\frac{1}{2}$，0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），设直线AB的方程为x=my+$\frac{1}{2}$，通过联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理及两点间距离公式计算可知m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，进而利用抛物线的定义计算即得结论．

解答 解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为：y²=2px，
∵抛物线过点M（$\frac{1}{2}$，1），
∴p=1，
所以抛物线C的方程为：y²=2x；
（2）由（1）可知焦点F（$\frac{1}{2}$，0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
设直线AB的方程为：x=my+$\frac{1}{2}$，则
联立直线AB与抛物线方程，整理可知：y²-2my-1=0，
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-1，△=4m²+4＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4{m}^{2}+4}$
=2（1+m²）
=$\frac{25}{12}$，
解得：m=±$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+1=$\frac{13}{12}$，
x₁x₂=m²y₁y₂+$\frac{m}{2}$（y₁+y₂）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴x₁=$\frac{3}{4}$或x₁=$\frac{1}{3}$，
∵|AF|＜|BF|，
∴B（$\frac{3}{4}$，y₁）、A（$\frac{1}{3}$，y₂），
又∵抛物线C的准线方程为：x=-$\frac{1}{2}$，
∴|AF|=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．