题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,已知椭圆
上存在点
,使
,且这样的点
有且只有两个.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点的直线
与椭圆
相交于
两点,且
,
是坐标原点,求
的面积取得最大值时的椭圆方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)利用椭圆的对称性可知满足条件的点有且只有两个,则点
位于椭圆的上下顶点,则根据椭圆的几何性质求解即可;
(2)设直线,椭圆的方程为
,二者联立可得
,且
,根据韦达定理可得
,由
可得
,即
,代入
中,再利用均值定理求解可得
,代回求得点
,进而求得
即可.
解:(1)由题,根据椭圆的对称性可知,满足条件的点有且只有两个,
则点位于椭圆的上下顶点,
则离心率
(2)易知直线不与
轴重合,设
,
,
,
由(1),因为,所以
,所以设椭圆的方程为
,
联立,消去
可得
,
则,即
①
所以②
因为,所以
,
代入②式可得,
所以,
当且仅当,即
时,
的面积有最大值,
不妨令,则
,
,代入
,可得
,满足①式,
故椭圆的方程为.
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