Question

【题目】已知函数，．

求函数的单调区间和极值；

设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）定义域为R，求其导函数，。讨论当当与两种情况下导函数的符号，即可判断单调区间与极值。

（2）设是任意的两实数，且，根据的斜率恒大于常数，可得，化简得；构造函数，求导得恒成立，即，进而求得m的取值范围。

（1）由题知定义域为，，，

①当时，，

在上单调递增，即增区间为；

则无极值；

②当时，的解为，

当时，， 的减区间为；

当时，， 的增区间为．

则极小值为，无极大值；

（2）设 是任意的两实数，且 ，由题设知

，故，

∴令函数 ，

则在上单调递增，

∴恒成立，

∴对任意的，恒成立，

∴．

又当时，

故．