Question

【题目】如图，设抛物线的焦点为F，准线为l，过准线l上一点且斜率为k的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF交抛物线C于D，E两点.

（1）求抛物线C的方程及k的取值范围；

（2）是否存在k值，使点P是线段DE的中点？若存在，求出k值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）由抛物线准线方程可以求出p的值，进而得到抛物线方程，联立直线与抛物线方程，由于直线与抛物线由两个交点, 所以，就可以得到k的取值范围；

（2）由（1）得，所以，求出点P的坐标，可得直线PF的方程,联立抛物线方程，再由韦达定理，结合中点坐标公式求解即可得出结论.

（1）由已知得，

∴.

∴抛物线方程为.

设的方程为，，，，，

由得.

，

解得，

注意到不符合题意，所以.

（2）不存在k值，使点P是线段DE的中点，理由如下：

由（1）得，

所以，

所以，，

直线PF的方程为.

由得，

.

点P为线段DE的中点时，有，即，

因为，所以此方程无实数根，

因此不存在k值，使点P是线段DE的中点.