Question

已知点A（1，0），抛物线x²=4y的焦点为F，射线FA与抛物线相交点M，与其准线交于N，则|FM|：|MN|=______．

Answer 1

∵抛物线x²=4y的焦点为F（0，1），
∴直线AF的斜率为k=

1-0

0-1

=-1，
可得直线AF的方程为y=-（x-1），即y=-x+1．
由

y=-x+1 x2=4y

消去y，得x²+4x-4=0，解得x=-2±2

2

．
∵射线FA与抛物线相交点M，∴M的横坐标为x_M=-2+2

2

，
又∵抛物线x²=4y的准线为y=-1，
∴联解

y=-x+1 y=-1

，得

x=2 y=-1

，所以射线FA与抛物线的准线相交于点N（2，-1），
由此可得|FM|：|FN|=x_M：x_N=（-2+2

2

）：2=

2

-1，
∴|FM|=（

2

-1）|FN|，|FN|=（

2

+1）|FM|，
可得|MN|=|FN|-|FM|=

2

|MN|，所以|FM|：|MN|=

2

2

．
故答案为：

2

2