题目内容

已知椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
(Ⅰ)∵椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2

过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限),
∴c=1,(1分)
c
a
=
1
2
,解得a=2,(2分)
∴b2=a2-c2=3,(3分)
∴椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1
.(4分)
(Ⅱ)∵A为椭圆G的左顶点,∴A(-2,0),M(1,
3
2
)
,(6分)
∴由题意可设直线l:y=
1
2
x+n
,n≠1.(7分)
设B(x1,y1),C(x2,y2),
x2
4
+
y2
3
=1
y=
1
2
x+n
,得x2+nx+n2-3=0.
由题意得△=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,
即n∈(-2,2)且n≠1.(8分)
x1+x2=-n,x1x2=n2-3.(9分)
kMB+kMC=
y1-
3
2
x1-1
+
y2-
3
2
x2-1
,(10分)
=
1
2
x1+n-
3
2
x1-1
+
1
2
x2+n-
3
2
x2-1
=1+
n-1
x1-1
+
n-1
x2-1
=1+
(n-1)(x1+x2-2)
x1x2-(x1+x2)+1

=1-
(n-1)(n+2)
n2+n-2
=0
,(13分)
所以直线MB,MC关于直线m对称.(14分)
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