题目内容
已知椭圆G:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
(Ⅰ)∵椭圆G:
+
=1(a>b>0)的离心率为
,
过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限),
∴c=1,(1分)
=
,解得a=2,(2分)
∴b2=a2-c2=3,(3分)
∴椭圆的方程为
+
=1.(4分)
(Ⅱ)∵A为椭圆G的左顶点,∴A(-2,0),M(1,
),(6分)
∴由题意可设直线l:y=
x+n,n≠1.(7分)
设B(x1,y1),C(x2,y2),
由
,得x2+nx+n2-3=0.
由题意得△=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,
即n∈(-2,2)且n≠1.(8分)
x1+x2=-n,x1x2=n2-3.(9分)
∵kMB+kMC=
+
,(10分)
=1-
=0,(13分)
所以直线MB,MC关于直线m对称.(14分)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限),
∴c=1,(1分)
c |
a |
1 |
2 |
∴b2=a2-c2=3,(3分)
∴椭圆的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)∵A为椭圆G的左顶点,∴A(-2,0),M(1,
3 |
2 |
∴由题意可设直线l:y=
1 |
2 |
设B(x1,y1),C(x2,y2),
由
|
由题意得△=n2-4(n2-3)=12-3n2>0,
即n∈(-2,2)且n≠1.(8分)
x1+x2=-n,x1x2=n2-3.(9分)
∵kMB+kMC=
y1-
| ||
x1-1 |
y2-
| ||
x2-1 |
|
=1-
(n-1)(n+2) |
n2+n-2 |
所以直线MB,MC关于直线m对称.(14分)
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